Inecuaciones lineales

 

                                     INECIACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE 

Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y  “≤” (menor o igual que) que usamos para relacionar un número con otro.

Escribimos, por ejemplo, 4 >–1 para señalar que 4 es mayor que –1. También podemos escribir –2 < 3 para señalar que –2 es menor que 3.

La ley de tricotomía, que establece que al comprar dos números reales cuales quiera, a y b. 

De esta ley y la representación sobre la recta numérica de los números reales, se obtienen las siguientes propiedades de orden de los números reales:

           • Propiedad transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c

           • Suma de desigualdades: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d

           • Suma o resta de una constante: Si a < b, entonces a ± c < b ± c

           • Multiplicación (división) por una constante:

- Si c > 0 y a < b, entonces a∙c < b∙c (a/c < b/c)                - Si c < 0 y a < b, entonces a∙c > b∙c (a/c > b/c)

Todas estas propiedades también son válidas cuando el signo < se reemplaza por >, ≤ o ≥. De las anteriores, se desprenden las siguientes otras propiedades:

1. Si a > 0 (a < 0), entonces 1/a > 0 (1/a < 0).

2. Si a∙b > 0, entonces a > 0 y b > 0 o bien, a < 0 y b < 0.

Si a∙b < 0, entonces a > 0 y b < 0 o bien, a < 0 y b < 0.

3. a∙b = 0, si y solo si, al menos, a = 0 o b = 0.

4. Sean a > 0 y b > 0 con a > b, entonces 1/a < 1/b

5. Sean a > 0, b > 0, c > 0 y d > 0. Si a < b y c < d entonces a∙c < b∙d.

Dados dos números reales a y b tales que a < b, se llama intervalo al conjunto de todos los valores reales que una variable x puede tomar entre a y b. Geométricamente se representa por un segmento en la recta real, donde los valores a y b son los extremos del intervalo. Los extremos a y b pueden estar incluidos o no en los valores que puede tomar la variable, lo que da lugar a distintos tipos de intervalos, que se denominan: 

    

Estos tipos de intervalos se denominan limitados, pues independientemente de que contenga o no a uno o ambos extremos, todos los números reales que pertenecen al intervalo están entre a y b. Existen casos particulares de intervalos que tienen una notación especial. Por ejemplo, la desigualdad x ≥ 3 significa que la variable x puede ser cualquier número real mayor o igual que tres y se representa, analíticamente, por [3, ∞) y sobre la recta real de la siguiente manera

                                    

Estos intervalos se denominan ilimitados y se presentan los siguientes casos:

           

Los símbolos ∞ (-∞), infinito positivo (negativo), no representan números reales. Son símbolos que describen lo ilimitado de un intervalo en una dirección positiva o negativa. Así, (-∞, ∞) que representa la desigualdad -∞ < x < ∞ es de hecho, todo el conjunto de números reales R.

Funciones lineales

 

Funciones lineales (rectas)

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma

siendo $m\ne 0$

• M es la ordenada (en el origen) de la función

La gráfica de una función lineal es siempre una recta.

es la pendiente de la función

2. Pendiente y ordenada

La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir, $m$

.Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función.

• Si la pendiente es positiva, la función es creciente.
• Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

 

Ecuaciones fraccionarias

 

Ecuaciones racionales o fraccionarias (con fracciones algebraicas)

Las ecuaciones racionales, también llamadas ecuaciones fraccionarias, son aquellas ecuaciones que tienen fracciones algebraicas, es decir, en las ecuaciones racionales la incógnita también está en el denominador de alguna fracción.

Cómo resolver ecuaciones racionales (o fraccionarias)

Para resolver una ecuación racional o fraccionaria se deben hacer los siguientes pasos:

1. Hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
2. Multiplicar cada término de la ecuación racional por el mcm encontrado en el paso anterior.
3. Simplificar las fracciones de la ecuación racional.
4. Resolver la ecuación resultante.
5. Comprobar las soluciones obtenidas sustituyendo cada valor en la ecuación racional original.

Esta es la teoría que nos permitirá solucionar cualquier tipo de ecuación racional o fraccionaria. Ahora vamos a ver exactamente cómo se hace resolviendo un ejemplo.

Ejemplo de ecuación racional (o fraccionaria) resuelta

Así pues, para que veas exactamente cómo se hacen las ecuaciones racionales (o fraccionarias), a continuación vamos a explicar la resolución de un ejemplo paso a paso:

Lo primero que debemos hacer es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores (damos por sabido este concepto, pero si tienes dudas de cómo se calcula puedes preguntarnos en los comentarios). En este ejercicio el m.c.m. es el siguiente:

Una vez hemos calculado el mcm de los denominadores de las fracciones, tenemos que multiplicar cada término de la ecuación por la expresión algebraica hallada en el paso anterior:

 

 

Trinomios

 

¿Qué es un trinomio?

En matemáticas, la definición de trinomio es la siguiente:

Un trinomio es un polinomio formado solamente por tres monomios. Es decir, un trinomio es una expresión algebraica con únicamente 3 términos diferentes que están unidos por el signo más (+) o el signo menos (-).

La palabra trinomio proviene del griego y está compuesta por dos componentes léxicos (tri y nomos), que significan lo siguiente:

• tri: prefijo que significa 3.
• nomos: quiere decir parte.

De ahí se puede deducir el significado de trinomio: polinomio con tres partes (o tres monomios).

Por otra lado, debes saber que en muchas ocasiones es muy útil factorizar un trinomio. Y para hacer la factorización de un polinomio existen varios procedimientos como por ejemplo el método de multiplicación FOIL o la regla de Ruffini, pero cuando es un trinomio se hace más rápido resolviendo una ecuación.

Para acabar de entender el concepto de un trinomio, vamos a ver varios ejemplos de este tipo de polinomio:

• Ejemplo de un trinomio de segundo grado:

• Ejemplo de un trinomio de tercer grado:

• Ejemplo de un trinomio de cuarto grado:

 

Ecuaciones Lineales

 

Pasos para resolver una ecuación lineal

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo  , con , ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

 1 Quitamos paréntesis

Esto es, si hay expresiones del estilo

Entonces desarrollamos tomando en cuenta la propiedad distributiva, esto es  y también la ley de los signos será importante.

 2 Quitamos denominadores

En el caso que existan términos fraccionarios en la expresión, debemos identificar los diferentes denominadores que haya, calcular el mínimo común multiplo (m.c.m) de estos y multiplicar la ecuación por el m.c.m.. O en vez del m.c.m, también puedes calcular el producto de todos los denominadores aunque se recomienda más el primero, pues es un número más pequeño o más simplificado. Por ejemplo:

multiplicamos la primera fracción por  

Aquí de nuevo podríamos necesitar quitar paréntesis para simplificar

 3 Agrupamos los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro

Ya que hayamos hecho el paso 1 y paso 2, tendremos la suma y resta de términos con x y términos independientes de ambos lados de la ecuación, lo que sigue es juntar las  de un lado y los términos independientes del otro, para esto recuerda que si de un lado de la ecuación se está sumando un , por ejemplo, lo puedo pasar del otro lado con la operación inversa, es decir, quedaría  del otro lado

 

 

 4 Reducimos los términos semejantes

Ya que tengo términos con  juntos, los sumo o resto dependiendo. De igual manera con los términos independientes, por ejemplo:

 

 

 5Despejamos la incógnita

Si hay un coeficiente acompañando a la variable , como la está multiplicando lo pasaré del otro lado con la operación inversa, esto es, dividiendo. A esto le llamo despejar

 

Factorización

 

La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación que debíamos realizar y encontrar el resultado.

Ahora, en la factorización se nos entrega el resultado y debemos encontrar cuál era la operación que se realizó, es decir, tenemos que expresarlo como si apenas se fuera a desarrollar el producto notable.

Las reglas básicas para factorizar son:

• Ley distributiva o factor común: 
• Trinomio cuadrado perfecto: 
• Trinomio cuadrado no perfecto: 
• Diferencia de cuadrados: 
• Suma o diferencia de dos cubos: 

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El hecho de reconocer cada uno de los casos de factorización nos ayudará a simplificar expresiones a lo largo de todos los cursos de matemáticas que vienen más adelante.

En realidad, puedes ver que para cada caso de factorización hay un caso correspondiente en los productos notables, de manera que con que memorices una fórmula, es suficiente para ambos temas.

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Ejemplo 1

Factoriza:

  

En este caso debemos utilizar la ley distributiva. Para esto identificamos el factor que se repite en todos los términos y lo escribimos a la izquierda. Luego escribimos dentro de un paréntesis todos los términos que no se repiten… Aquí se repite la :

  

De manea que si multiplicamos obtenemos de nuevo: .

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En este primer ejemplo solamente teníamos un factor común. En algunos otros casos tendremos dos o más, como en el siguiente ejemplo.