Inecuaciones lineales

 

                                     INECIACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE 

Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y  “≤” (menor o igual que) que usamos para relacionar un número con otro.

Escribimos, por ejemplo, 4 >–1 para señalar que 4 es mayor que –1. También podemos escribir –2 < 3 para señalar que –2 es menor que 3.

La ley de tricotomía, que establece que al comprar dos números reales cuales quiera, a y b. 

De esta ley y la representación sobre la recta numérica de los números reales, se obtienen las siguientes propiedades de orden de los números reales:

           • Propiedad transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c

           • Suma de desigualdades: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d

           • Suma o resta de una constante: Si a < b, entonces a ± c < b ± c

           • Multiplicación (división) por una constante:

- Si c > 0 y a < b, entonces a∙c < b∙c (a/c < b/c)                - Si c < 0 y a < b, entonces a∙c > b∙c (a/c > b/c)

Todas estas propiedades también son válidas cuando el signo < se reemplaza por >, ≤ o ≥. De las anteriores, se desprenden las siguientes otras propiedades:

1. Si a > 0 (a < 0), entonces 1/a > 0 (1/a < 0).

2. Si a∙b > 0, entonces a > 0 y b > 0 o bien, a < 0 y b < 0.

Si a∙b < 0, entonces a > 0 y b < 0 o bien, a < 0 y b < 0.

3. a∙b = 0, si y solo si, al menos, a = 0 o b = 0.

4. Sean a > 0 y b > 0 con a > b, entonces 1/a < 1/b

5. Sean a > 0, b > 0, c > 0 y d > 0. Si a < b y c < d entonces a∙c < b∙d.

Dados dos números reales a y b tales que a < b, se llama intervalo al conjunto de todos los valores reales que una variable x puede tomar entre a y b. Geométricamente se representa por un segmento en la recta real, donde los valores a y b son los extremos del intervalo. Los extremos a y b pueden estar incluidos o no en los valores que puede tomar la variable, lo que da lugar a distintos tipos de intervalos, que se denominan: 

    

Estos tipos de intervalos se denominan limitados, pues independientemente de que contenga o no a uno o ambos extremos, todos los números reales que pertenecen al intervalo están entre a y b. Existen casos particulares de intervalos que tienen una notación especial. Por ejemplo, la desigualdad x ≥ 3 significa que la variable x puede ser cualquier número real mayor o igual que tres y se representa, analíticamente, por [3, ∞) y sobre la recta real de la siguiente manera

                                    

Estos intervalos se denominan ilimitados y se presentan los siguientes casos:

           

Los símbolos ∞ (-∞), infinito positivo (negativo), no representan números reales. Son símbolos que describen lo ilimitado de un intervalo en una dirección positiva o negativa. Así, (-∞, ∞) que representa la desigualdad -∞ < x < ∞ es de hecho, todo el conjunto de números reales R.