Ecuaciones lineales suma y resta 2x2

 ECUACIONES LINEALES SUMA Y RESTA 2x2 CONOCIDA COMO METODO DE REDUCCION 

 El método de suma y resta

Esta técnica también es denominada “método de eliminación” o “método de reducción”. Dado que 2 sistemas resultan equivalentes siempre y cuando presenten el mismo conjunto-solución, mediante este procedimiento se transforma el sistema presentado en otro equivalente. Esencialmente, se trata de ver ante todo si alguna de las incógnitas posee igual coeficiente en las 2 ecuaciones; de no ser así, se intenta adaptar la expresión para que lo sea.

Aquel conocido como “método de eliminación” -o como ya sabes, método de suma y resta– se utiliza para dar respuesta a sistemas de ecuaciones lineales y se basa en la propiedad de la igualdad de la adición (suma). Esto significa que podemos sumar un mismo valor a ambos lados de la ecuación.

 Se trata de una técnica bastante sencilla en comparación con otras metodologías usadas en Álgebra, Aritmética y Trigonometría, por nombrar solo algunas derivaciones. De hecho, es bastante común que se use en los primeros tramos de la escuela media como un contenido de la enseñanza obligatoria para niños y jóvenes.

Tenemos la primera ecuación que la llamaremos ecuación A mientras que la segunda la llamaremos ecuación     B,

              A               6x-5y=9

              B               4x+3y=13

Tenemos dos columnas la primer Columna es la variable “x” mientras que la segunda es la variable “y”. Para esto vamos a eliminar una variable, ya sea la variable “x” o la variable “y”, en nuestro caso como un término es negativo y el otro positivo vamos a eliminar la variable y de la siguiente manera: 

                  •La ecuación A la vamos a multiplicar por el coeficiente de la variable “y” de la ecuación B que es el (3).

                  •La ecuación B la vamos a multiplicar por el coeficiente de la variable “y” de la ecuación A que es el (5).

Tenemos lo siguiente: 

Ecuación A= multiplicamos 6x por 3 lo que nos da 18x, luego -5y por 3 es igual a 15y, después el -9 por 3 lo que nos daría -27 por que signo negativo por positivo da negativo. multiplicamos 4x por 5 lo que nos da 20x, luego -3y por 5 es igual a +15y, después el 13 por 5 lo que nos daría 65 por que signo negativo por positivo da negativo.                              

                                  A                         18x-5y=-27

                                  B                         20x+15y=65

Ya que tenemos esto vamos a multiplicar de forma vertical. 18x más 20x es igual a 38x, -15y más 15y se cancela por qué es 0y, -27 mas 65 es igual a 38.

         

Entonces tenemos la ecuación

                                                                   38x=38

Vamos a despejar la variable x es decir en el lado  izquierdo de la igualdad vamos a dejar la variable x, mientras que con el 38 lo vas a pasar de lado de la igualdad con la operación opuesta, se esta multiplicando así que se pasara dividiendo. Entonces dividiriamos 38 entre 38 y nos quedara 1. 

                                                                    x=38/38

                                                                    x=1

En este caso que ya tenemos el resultado de la variable x sacaremos la variable y.

 Para esto vamos a elegir la ecuación A, donde elegiremos 

 que variable queremos multiplicar en este caso elegimos             A                      6(1)-5y=-9

 la variable 1 donde 6x se multiplicara por 1.                                                            6-5y=-9                       En este paso vamos a pasar el 6 alado de la otra igualdad                                    5y=-15                     solo que se pasara negativo ya que es positivo al cambiar                                          y=-15/-5                   de lado de la igualdad cambiara a negativo y si esta negativo                                         y= 3                  

cambiara a positivo. Despues se baja la 5y y -9-6 los sumamos                                 

 porque ambos son signos negativos. despues pasamos el 5 

al otro lado de la igualdad para dejar sola ala y, mientras que 

del otro lado quedaría -15 entre -5. Dividimos -15 entre -5

como ambos son negativos y negativo+negativo da positivo

sera un resultado positivo. 

Y asi es como sacamos que 

                                                      x=1                      y                     y=3                                                                           

ecuaciones lineales 2x2(igualacion)

 Ecuaciones lineales 2x2(igualación)

¿Qué es el método de igualación?

Al aplicar el método de igualación, hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes. Al aplicar el método de igualación, hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes.

Como resolverla

Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones.

En este caso vamos a elegir despejar la variable x, aunque también es válido utilizar la otra variable.

Paso 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, obteniendo una ecuación con una incógnita.

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita.

Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos expresiones del paso 1.

En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la ecuación 2:

Paso 5. Verificación de la solución del sistema.

Nuestra solución:

Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:

ecuaciones lineales 2x2

 Ecuaciones lineales 2x2(sustitución)

¿Qué es una ecuación lineal 2x2?

Es el método en donde se despeja a una de las variables o incógnitas de una ecuación perteneciente a un sistema de ecuaciones 2×2 2 × 2 , y este valor se reemplaza en la otra ecuación para obtener una ecuación entera de primer grado con una incógnita.

Método de sustitución 

El método de sustitución consiste en despejar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación. El método deconsiste enen una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra

Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en cualquiera de las ecuaciones.

En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 2

Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior para encontrar el valor de una de las incógnitas

Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso

Paso 5. Verificación de la solución del sistema.

Nuestra solución:

Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:

Binomios al cuadrado

 Binomios al cuadrado.

¿Qué es un binomio al cuadrado?

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

¿Cuándo se utiliza?

Este tema de productos notables es utilizado en la geometría analítica para la obtención del centro de la circunferencia, elipse e hipérbola, él cual se obtenido mediante la factorización y mediante la completación del trinomio cuadrado perfecto.

videos en los que puedes apoyarte si no logras entender el tema: 

Inecuaciones lineales

 

                                     INECIACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE 

Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y  “≤” (menor o igual que) que usamos para relacionar un número con otro.

Escribimos, por ejemplo, 4 >–1 para señalar que 4 es mayor que –1. También podemos escribir –2 < 3 para señalar que –2 es menor que 3.

La ley de tricotomía, que establece que al comprar dos números reales cuales quiera, a y b. 

De esta ley y la representación sobre la recta numérica de los números reales, se obtienen las siguientes propiedades de orden de los números reales:

           • Propiedad transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c

           • Suma de desigualdades: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d

           • Suma o resta de una constante: Si a < b, entonces a ± c < b ± c

           • Multiplicación (división) por una constante:

- Si c > 0 y a < b, entonces a∙c < b∙c (a/c < b/c)                - Si c < 0 y a < b, entonces a∙c > b∙c (a/c > b/c)

Todas estas propiedades también son válidas cuando el signo < se reemplaza por >, ≤ o ≥. De las anteriores, se desprenden las siguientes otras propiedades:

1. Si a > 0 (a < 0), entonces 1/a > 0 (1/a < 0).

2. Si a∙b > 0, entonces a > 0 y b > 0 o bien, a < 0 y b < 0.

Si a∙b < 0, entonces a > 0 y b < 0 o bien, a < 0 y b < 0.

3. a∙b = 0, si y solo si, al menos, a = 0 o b = 0.

4. Sean a > 0 y b > 0 con a > b, entonces 1/a < 1/b

5. Sean a > 0, b > 0, c > 0 y d > 0. Si a < b y c < d entonces a∙c < b∙d.

Dados dos números reales a y b tales que a < b, se llama intervalo al conjunto de todos los valores reales que una variable x puede tomar entre a y b. Geométricamente se representa por un segmento en la recta real, donde los valores a y b son los extremos del intervalo. Los extremos a y b pueden estar incluidos o no en los valores que puede tomar la variable, lo que da lugar a distintos tipos de intervalos, que se denominan: 

    

Estos tipos de intervalos se denominan limitados, pues independientemente de que contenga o no a uno o ambos extremos, todos los números reales que pertenecen al intervalo están entre a y b. Existen casos particulares de intervalos que tienen una notación especial. Por ejemplo, la desigualdad x ≥ 3 significa que la variable x puede ser cualquier número real mayor o igual que tres y se representa, analíticamente, por [3, ∞) y sobre la recta real de la siguiente manera

                                    

Estos intervalos se denominan ilimitados y se presentan los siguientes casos:

           

Los símbolos ∞ (-∞), infinito positivo (negativo), no representan números reales. Son símbolos que describen lo ilimitado de un intervalo en una dirección positiva o negativa. Así, (-∞, ∞) que representa la desigualdad -∞ < x < ∞ es de hecho, todo el conjunto de números reales R.

Funciones lineales

 

Funciones lineales (rectas)

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma

siendo $m\ne 0$

• M es la ordenada (en el origen) de la función

La gráfica de una función lineal es siempre una recta.

es la pendiente de la función

2. Pendiente y ordenada

La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir, $m$

.Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función.

• Si la pendiente es positiva, la función es creciente.
• Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

 

Ecuaciones fraccionarias

 

Ecuaciones racionales o fraccionarias (con fracciones algebraicas)

Las ecuaciones racionales, también llamadas ecuaciones fraccionarias, son aquellas ecuaciones que tienen fracciones algebraicas, es decir, en las ecuaciones racionales la incógnita también está en el denominador de alguna fracción.

Cómo resolver ecuaciones racionales (o fraccionarias)

Para resolver una ecuación racional o fraccionaria se deben hacer los siguientes pasos:

1. Hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
2. Multiplicar cada término de la ecuación racional por el mcm encontrado en el paso anterior.
3. Simplificar las fracciones de la ecuación racional.
4. Resolver la ecuación resultante.
5. Comprobar las soluciones obtenidas sustituyendo cada valor en la ecuación racional original.

Esta es la teoría que nos permitirá solucionar cualquier tipo de ecuación racional o fraccionaria. Ahora vamos a ver exactamente cómo se hace resolviendo un ejemplo.

Ejemplo de ecuación racional (o fraccionaria) resuelta

Así pues, para que veas exactamente cómo se hacen las ecuaciones racionales (o fraccionarias), a continuación vamos a explicar la resolución de un ejemplo paso a paso:

Lo primero que debemos hacer es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores (damos por sabido este concepto, pero si tienes dudas de cómo se calcula puedes preguntarnos en los comentarios). En este ejercicio el m.c.m. es el siguiente:

Una vez hemos calculado el mcm de los denominadores de las fracciones, tenemos que multiplicar cada término de la ecuación por la expresión algebraica hallada en el paso anterior:

 

 

Trinomios

 

¿Qué es un trinomio?

En matemáticas, la definición de trinomio es la siguiente:

Un trinomio es un polinomio formado solamente por tres monomios. Es decir, un trinomio es una expresión algebraica con únicamente 3 términos diferentes que están unidos por el signo más (+) o el signo menos (-).

La palabra trinomio proviene del griego y está compuesta por dos componentes léxicos (tri y nomos), que significan lo siguiente:

• tri: prefijo que significa 3.
• nomos: quiere decir parte.

De ahí se puede deducir el significado de trinomio: polinomio con tres partes (o tres monomios).

Por otra lado, debes saber que en muchas ocasiones es muy útil factorizar un trinomio. Y para hacer la factorización de un polinomio existen varios procedimientos como por ejemplo el método de multiplicación FOIL o la regla de Ruffini, pero cuando es un trinomio se hace más rápido resolviendo una ecuación.

Para acabar de entender el concepto de un trinomio, vamos a ver varios ejemplos de este tipo de polinomio:

• Ejemplo de un trinomio de segundo grado:

• Ejemplo de un trinomio de tercer grado:

• Ejemplo de un trinomio de cuarto grado:

 

Ecuaciones Lineales

 

Pasos para resolver una ecuación lineal

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo  , con , ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

 1 Quitamos paréntesis

Esto es, si hay expresiones del estilo

Entonces desarrollamos tomando en cuenta la propiedad distributiva, esto es  y también la ley de los signos será importante.

 2 Quitamos denominadores

En el caso que existan términos fraccionarios en la expresión, debemos identificar los diferentes denominadores que haya, calcular el mínimo común multiplo (m.c.m) de estos y multiplicar la ecuación por el m.c.m.. O en vez del m.c.m, también puedes calcular el producto de todos los denominadores aunque se recomienda más el primero, pues es un número más pequeño o más simplificado. Por ejemplo:

multiplicamos la primera fracción por  

Aquí de nuevo podríamos necesitar quitar paréntesis para simplificar

 3 Agrupamos los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro

Ya que hayamos hecho el paso 1 y paso 2, tendremos la suma y resta de términos con x y términos independientes de ambos lados de la ecuación, lo que sigue es juntar las  de un lado y los términos independientes del otro, para esto recuerda que si de un lado de la ecuación se está sumando un , por ejemplo, lo puedo pasar del otro lado con la operación inversa, es decir, quedaría  del otro lado

 

 

 4 Reducimos los términos semejantes

Ya que tengo términos con  juntos, los sumo o resto dependiendo. De igual manera con los términos independientes, por ejemplo:

 

 

 5Despejamos la incógnita

Si hay un coeficiente acompañando a la variable , como la está multiplicando lo pasaré del otro lado con la operación inversa, esto es, dividiendo. A esto le llamo despejar